X
تبلیغات
رایتل
علم اعداد
  
 
 
آرشیو
 
چهارشنبه 8 شهریور‌ماه سال 1385
جداول جادویی
اشاره

تاریخ پیدایش عدد و آغاز فرایند شمارش به قرون ماقبل تاریخ بر میگردد . انسان اولیه کم و بیش میتوانست کم را از بیش تمیز دهد . با تکامل تدریجی جوامع بشری و نیاز به شمارش اعضای قبیله ، عده دشمنان و ... سبب پیدایش نوعی شمارش شفاهی شد . برای ضبط و ثبت ارقام از شگردهایی نظیر تاکردن انگشتان دست و یا کشیدن شیارهایی روی گل و یا استخوان جانوران بهره می جستند . بعدها با بهبود کار نوشتن ، ترکیبی از علائم برای نمایش ارقام ایجاد شد . رفته ، رفته این کشف بزرگ برای خود جایگاه ویژه در روند پیشرفت بشر پیدا کرد . یونانیان باستان بیشتر از دیگران بر نقش اعداد در زندگی اعتقاد داشتند . به نحوی که برای آن قداست خاصی قائل بودند . دراین بین فیثاغورث و پیروانش قسمت اعظم شالوده رازگرایی عدد را پی ریزی کردند . فیثاغورثیان معتقد بودند که عدد صحیح سبب کیفیات مختلف انسان و ماده است این منجر به تعالی و مطالعه اعداد گردید . اعداد متحابه جزء اولین ارقامی بودند که به جذبه جادویی دست یافتند ؛ دو عدد را متحابه گویند اگر هر یک از آنها برابر مجموع مقسوم علیه هایی حقیقی دیگری باشد مانند 284 و 220 بعدها این پندار خرافی پدید آمد که دو طلسم حاوی اعداد متحابه ، عشق آتشین و مودت تمام عیار مابین حاملین آنها ایجاد خواهد کرد . اعداد تام ( یک عدد تام است هرگاه با حاصل جمع مقسوم علیه های خود برابر باشد . مانند 6=1+2+3) ، اعداد ناقص  ( یک عدد ناقص است هرگاه از حاصل جمع مقسوم علیه های حقیقی اش بزرگتر باشد . مانند 8>4+2+1) ، اعداد زاید ( یک عدد زاید است هرگاه از حاصـــل جمع مقسوم علیه های حقیقی اش کوچکتر باشد . مانند 12 < 6+4+3+2+1) ، ارقامی دیگر با روابط جادویی هستند که به فیثاغورثیان نسبت داده می شوند . در طی سالیان متمادی اعداد نقش بزرگی در سحر ، جادو و طالع بینی داشتند .

تاریخچه جداول جادویی

شاید در طول تحصیلات خود با جداول گوناگونی از اعداد سروکار داشتید ؛ مانند جداول ضرب و تقسیم ، معهذا نقش جداول در تاریخ ریاضیات بیشتر از اینهاست . از 300 لوح ریاضی که در بابل یافت شده در حدود 200 تایشان لوحهای جداولی اند . این لوح های جدولی ؛ جدولهای ضرب ، معکوس و حتی جداول توان را نشان می دهند و این نشانگر آنست که بابلیان در 2000 تا 1600 ق . م جدولسازان خستگی ناپذیر و محاسبین چیره دست بودند . علاوه برجداول مذکور نوع مشخصی از جداول در طی تاریخ ذهن بشر را بخود مشغول کرده اند .

جداول جادویی

جداول جادویی اشکال هندسی به شکل مربع هستند این مربع ها حاوی حجره هایی است که در آن ارقامی قرار می گیرند . هاله سحرآمیزی که این جداول را فراگرفته ، ناشی از روابط شگفت انگیزی است که بین اعداد آن برقرار است در هر جدول جادویی اعداد صحیح از 1 تا n*n بدون تکرار جای می گیرند و تمامی سطرها و ستون ها و قطرها دارای حاصلجمع یکسان می باشند . تعداد سطرها و یا ستون های یک مربع جادویی را رتبه آن جدول گویند . ( در این نوشتار مراد از جدول یک آرایه مربعی شکل است ) . از آغاز پیدایش هندسه و جبر ، ویژگی های جداول جادویی مورد توجه ریاضیدانان بوده است و فرزانگان دوران باستان خصایص سحرآمیزی ، بدان نسبت می دادند چینی ها اولین کسانی بودند که ویژگی های یک جدول جادویی را کشف کردند در یکی از قدیمی ترین آثار کلاسیک ریاضیات چین بنام " کتاب در باب تبدیلات " نموداری از ارقام ثبت شده که به لو - شو ( Lo – sho ) مشهور است . لو - شو ، قدیمی ترین نمونه شناخته شده یک جدول جادویی هست . بعبارت افسانه ای این جدول جادویی درحدود 2200 ق . م برای اولین بارتوسط امپراتور یو ( Yu ) بر پشت لاک پشتی اسرارآمیز که از رودخانه زرد به خشکی خزید مشاهده شد . چینی ها ویژگی های سحرآمیزی را برای اعداد لو – شو قائل بودند . عدد 5 واقع در وسط این مربع در محل تقاطع قطرها ، مظهر زمین بود . سه و هشت مظهر چوب و یک و شش مظهر آب بودند و آتش با هفت و دو و فلزات با چهار و نه مشخص می شدند . آنان اعداد زوج را مظهر عنصر ماده و منفعل و اعداد فرد را مظهر عنصر فعال و نر می دانستند . لو - شو آرایه مربعی که دارای ارزش مذهبی در نزد چینی ها بود بعدها بصورت زیر تصویر شد .

 

       آب

 

 چوب

8

1

6

      آتش

3

5

7

4

9

2

 

        فلز

 

بعدها جداول جادویی به هندوستان آورده شدند و توسط ایرانیان به مغرب زمین منتقل گردیدند . و شاید شطرنج نوع دگرگون شده مربعات جادویی بوده که در هندوستان رایج گردید . علی ای حال در دوران احیای علوم در قرن پانزده و شانزده میلادی در اروپا ریاضیدانی بنام کارنلیوس آگریپا ( 1535 – 1486 ) در باب جداول جادویی پژوهشهای علمی انجام داد وی جداول جادویی از مراتب 3 الی 9 را ترسیم نمود و آنها را نمادی برای هفت جرم آسمانی ؛ زحل ، مشتری ، مریخ ، خورشید ، ماه ، زهره و عطارد که تا آن زمان شناخته شده بودند ،  تلقی نمود . دولالوبر (  Delaloubere)  فرستاده لوئی چهاردهم بین سالهای 1687 – 1688 به مشرق زمین بود . وی در سیام روش ساده ای را برای پیدا کردن و ترسیم جداول جادویی از مراتب فرد فراگرفت . اندیشه سحرآمیز بودن جداول جادویی در غرب تا بدان حد رواج یافت که برای مصونیت از بیماری ، آنها را روی چوب و یا لوح نقره ای حک می نمودند و بر جامه خود می دوختند . از جالبترین جداول جادویی باقیمانده از آن دوران ، جدول موجود در تابلوی مالخولیایی " آلبرشت دورر " – نقاش آلمانی – می باشد . در یکی از گوشه های بالایی این اثر حکاکی شده به سال 1514 یک جدول جادویی از مرتبه 4 موجود است از آنجائیکه طالع بینان و عوام و خاص بیماران روانی این مربع جادویی را بعنوان طلسم شکن تجویز می کردند . آلبرشت دورر نیز با تبعیت از ایشان در بالای سر بیمار روانی اثر خود این جدول جادویی را حکاکی نموده است .

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

در این جدول سال ایجاد در دو حجره وسطی سطر آخری حک شده است . این تابلو اینک در موزه بریتانیا نگهداری می شود . حاصلجمع اعداد هر سطر و ستون و قطرهای این مربع جادویی 34 است . علاوه براین :

1.   حاصلجمع اعداد چهار حجره مرکزی 34=10+3+8+13 است که برابر با حاصلجمع چهار عدد واقع در رئوس آن می باشد .

2.   حاصلجمع چهار عددی که در ستون پایین و بالا بعد از حذف اعداد در رئوس باقی می مانند نیز 34 است .

3.   حاصلجمع اعداد واقع در ستونهای اول و آخر بعد از حذف اعداد مندرج در رئوس نیز برابر 34 در می آید .

4.   حاصل جمع مربعات اعداد واقع در دو سطر بالایی برابر با حاصل جمع مربعات اعداد واقع در دو سطر زیرین است .

5.   حاصل جمع مربعات اعداد واقع بر قطرها برابر با حاصل جمع مربعات اعداد غیر واقع بر قطرهاست .

6.   حاصل جمع مربعات اعداد واقع بر سطر اول و سوم برابر است با حاصل جمع مربعات اعداد واقع بر سطرهای دوم و چهارم .

7.   حاصل جمع اعداد واقع در قطرها برابر است با حاصل جمع اعدادیکه بر قطرها واقع نیستند .

8.   حاصل جمع مکعبات اعداد واقع بر قطرها برابر با حاصل جمع مکعبات اعداد غیر واقع بر قطرهاست .

چنین مربعات جادویی را مربعات اهریمنی نیز نامیده اند .

ویژگی ریاضی جداول جادویی

چنانکه ذکر شد در هر جدول جادویی اعداد صحیح از 1 تا n*n  بدون تکرار جای می گیرند و حاصل جمع ارقام هر سطر و هر ستون و نیز دو قطر یکسان می باشند . و در این بین n  مرتبه جدول جادویی خواهد بود . جدول جادویی با رتبه یک بی معنی است و می توان نشان داد که جدول جادویی از مرتبه 2 وجود ندارد . حداقل رتبه یک جدول جادویی 3 است . تاکنون استدلال و برهان ریاضی ، برای چگونگی ترتیب و تنظیم اعداد در جداول جادویی کشف نگردیده است و راه حلهای ارائه شده تنها بوسیله آزمون و خطا حاصل شده اند .

شگردهایی برای ساختن بعضی جداول جادویی

برای ساختن جدول جادویی از مرتبه 3 از شگرد دولالوبر ( همان سفیر فرانسه در سیام ) بهره می جوییم . نخست قاعده کلی دولالوبر را که با آن جداول جادویی از مراتب فرد مثل 3 ، 5 ، 7 و ... بدست می آیند را ارائه می کنیم .

مربع دلخواهی با رتبه فرد که حجره هایش نیز ترسیم شده اند را در نظر می گیریم . حاشیه هایی به شکل حجره هایی در کنار لبه های بالایی و راس ایجاد می کنیم و حجره ای که در گوشه سمت راست بالا رسم کردیم سایه می زنیم در حجره وسطی سطر اول مربع اصلی عدد یک را می نویسیم . حال در امتداد قطری به طرف بالا به سمت راست با اعداد صحیح متوالی پیش می رویم . استثناعات بر این قاعده عمومی در مواقعی که چنان عملی مارا از حاشیه بیرون برد و یا به حجره ای که قبلا اشغال شده رهنمون کند ، وجود دارد در وضعیت نخست با تغییر مسیر حرکت به سمت دیگر جدول ( یا از بالا به پایین و یا از راست به چپ ) منوط به اینکه در چه موقعیتی باشیم به داخل جدول اصلی باز می گردیم . در وضعیت دوم عدد را در حجره ای که درست در زیر حجره ای که آخرین بار اشغال شده نوشته و آنگاه طبق قاعده فوق روند جاری را ادامه می دهیم تا جدول تکمیل شود . در فرایند اخیر حجره سایه خورده باید بعنوان اشغال شده تلقی شود . اینک جدول جادویی از مرتبه 3 را طبق قاعده زیر تکمیل می کنیم : نخست مربعی را رسم کرده و آن را بر9 حجره تقسیم می کنیم بعد از قرار دادن عدد یک در حجره وسطی حاشیه را طبق قاعده فوق ترسیم می کنیم و آنگاه در سطر اول جدول اصلی در امتداد قطر روبه بالا از 1 در سومین حجره مرزی در امتداد لبه بالایی عدد 2 را قرار می دهیم بنا بر قاعده عدد 2 را به سومین حجره در سطر زیرین جدول اصلی منتقل می کنیم در امتداد قطر رو به بالا از دو عدد 3 را می نویسیم عدد 3 را در دومین حجره مرزی از پایین در امتداد لبه راست قرار می دهیم . بنابراین باید در طرف مقابل و چپ در دومین حجره از زیر در اولین ستون جدول اصلی عدد 3 نوشته شود با ادامه روند جاری بعد از تکمیل جدول اصلی حاشیه را پاک می کنیم . جدول جادویی حاصل همان جدول جادویی موسوم به لوشو است .

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

9

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

8

1

6

8

 

8

1

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

5

 

3

 

3

5

7

3

 

3

5

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

2

 

 

4

9

2

 

 

4

9

2

 

(یک )

 

 

 

( دو )

 

 

 

( سه )

 

 

 

( چهار )

 

 

 

(پنچ )

  هنگام پر کردن حجره های جدول جادویی باید دقت شود که هر عدد فقط یکبار می تواند در حجره های یک جدول جای گیرد . حاصل جمع ارقام در هر سطر و در هر ستون و در هر یک از قطرها جدول جادویی لوشو 15 است . حال اگر عناصر جدول اخیر را  در مقدار ثابتی ضرب کنیم تا اجزای جدیدی بدست آید حاصل جمع سطرها و ستون ها و همینطور قطرها در این حالت نیز مساوی خواهند بود ، بعبارت دیگر جدول جادویی جدید بدست خواهد آمد . در جدول زیر عناصر جدول جادویی لوشو دو برابر شده است از اینرو حاصل جمع مورد نظر به 30=15*2 تبدیل می شود .

16

2

12

6

10

14

8

18

4

به همین ترتیب می توان جداول جادویی دیگری نیز بدست آورد علاوه براین می توان با چرخش حول هر یک از سطرها و یا ستون ها و یا قطرها ، جداول جدیدی بدست آورد . جدول جادویی زیر چرخش یافته جدول جادویی لوشو حول یکی از قطرهایش است .

2

7

6

9

5

1

4

3

8

با افزایش رتبه های جدول جادویی تعداد آرایشها نیز افزایش می یابند . با در نظر گرفتن حالات چرخش و تقارن ، 880 تا جدول جادویی از رتبه 4 را می توان از یک جدول جادویی با همان رتبه بدست آورد . این امر برای اولین بار توسط" برنارد فرنیکل دوناسی " در 1693 کشف شد . اینک دقت خود را معطوف به تکمیل یک جدول جادویی از مرتبه چهار خواهیم کرد . جداول جادویی از مرتبه چهار را در نظر می گیریم و قطرهای آنرا رسم شده تصور می کنیم ( مطابق شکل زیر )  با شروع از گوشه فوقانی سمت چپ در امتداد سطرها از چپ به راست به ترتیب صعودی می شماریم درحالیکه اعداد را تنها در حجره هایی درج می کنیم که توسط قطری قطع نشده اند . بعد از اتمام روند جاری در مرحله دوم با شروع از گوشه تحتانی سمت راست در امتداد سطرها از راست به چپ به ترتیب صعودی می شماریم درحالیکه اعداد را تنها در حجره هایی که بوسیله یک قطر قطع شده اند درج می کنیم . جدول جادویی حاصل فرق چندانی با جدول جادویی موجود در تابلوی آلبرشت دورر ندارد .

 

2

3

 

 

16

2

3

13

5

 

 

8

 

5

11

10

8

9

 

 

 

 

9

7

6

12

 

14

15

 

 

4

14

15

1

 

و همینطور برای ساختن جداول جادویی از مراتب دو زوجی ، یعنی جداول جادویی که رتبه آنها مضربی از چهار است همان قاعده که برای جدول جادویی از مرتبه 4 ذکر گردید را می توان بکار برد . شما نیز می توانید با کمی حوصله و ممارست با استفاده از دو قاعده مذکور ( روش دولالوبر و روش اخیر ) جداول جادویی از مراتب فرد و زوج را بدست آورید .  مثلا می توانید جداول جادویی از مراتب 5 و 7 را بااستفاده از روش دولالوبر بدست آورید . در این صورت حاصل جمع ارقام هر سطر و هر ستون و هر یک از قطرها برای جدول جادویی از مرتبه 5 برابر 65 و برای دیگری برابر با 75 خواهد بود . و با استفاده از شگردی که برای جدول جادویی از مرتبه 4 بکار بردیم ، می توانید جداول جادویی از مراتب 8 و 12 را بدست آورید . متذکر می شویم که در اینصورت حاصل جمع ارقام هر سطر و هر ستون و قطرها به ترتیب برای جدول جادویی از مرتبه 8 برابر 260 و برای جدول جادویی از مرتبه 12 برابر 870 خواهد بود .

منابع :

1.   آشنایی با تاریخ ریاضیات / هاورد – ایوز / دکتر محمد قاسم وحیدی اصل /

2.   ریاضیات و زندگی / فرانکو آگوستینی / عادل ارشقی /

ISSH

عنوان مقاله : جدول های جادویی

نویسنده : صمد شفیع زاده

مجله اطلاعات علمی و نشریه دانشجویی صبا ( آذر ماه 1378 )

مستدعی است ؛ نظر ، انتقاد و پیشنهاد خود را درباره این مقاله با نگارنده در میان بگذارید  .

منبع:‌  http://www.shafizadeh.net/gedvalhaye_jaduiy.htm


برای عضویت در خبرنامه این وبلاگ نام کاربری خود در سیستم بلاگ اسکای را وارد کنید
نام کاربری
 
تعداد بازدیدکنندگان : 87281


Powered by BlogSky.com

عناوین آخرین یادداشت ها